已知函数f（x）=x2-x，g（x）=lnx-f

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=x2-x，g（x）=lnx-f（x）f"（x）
（1）求g（x）的最大值及相应x的值；
（2）对任意的正数x，恒有f(x)+f(

1
x
)≥(x+
1
x
)ln(m2-2m-2)，求实数m的最大值．

答案

解（1）g（x）=lnx-（x2-x）（2x-1）=lnx-2x3+3x2-x，
g′(x)=

1
x
-6x2+6x-1=
(1-x)(6x2+1)
x
，(x＞0)，
当0＜x＜1时，g"（x）＞0；当x＞1时，g"（x）＜0，
所以g（x）在（0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，
所以，当x=1时，g（x）取得最大值g（1）=0；
（2）f(x)+f(
1
x
)≥(x+
1
x
)ln(m2-2m-2)，即(x2-x+
1
x2
-
1
x
)≥(x+
1
x
)ln(m2-2m-2)，
可化为(x+
1
x
)2-2-(x+
1
x
)≥(x+
1
x
)ln(m2-2m-2)①，
因为x＞0，所以x+
1
x
≥2（当x=1时取到等号），
设x+
1
x
=t(t≥2)，①可化为t2-2-t≥tln（m2-2m-2），即ln(m2-2m-2)≤t-
2
t
-1当t≥2时恒成立，
令h(t)=t-
2
t
-1，h′(x)=1+
2
t2
＞0，
所以h（t）在[2，+∞）上是增函数，所以h（t）≥h（2）=0，于是ln（m2-2m-2）≤0，
解不等式0＜m2-2m-2≤1，解得-1≤m＜1-

解析

相关题目