题目

已知函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（1）求证：f（x）≥g（x）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的值；
（3）设F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有两个极值点x₁、x₂（x₁＜x₂）；求实数m的取值范围，并证明：F(x2)＞-

3+4ln2

16

．

答案

（1）设G（x）=x²-x-lnx，
故G′(x)=

(2x+1)(x-1)

x

（x＞0）…2"
∴G（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增
∴G（x）≥G（1）=0
∴f（x）≥g（x）…2"
（2）令h（x）=f（x）-ag（x）
∵h（1）=0
所以h（x）≥0的必要条件是h"（0）=0，得a=1…3"
当a=1时，由（1）知h（x）≥0恒成立．
所以a=1…2"
（3）因为F（x）=f（x）+mg（x）=x²-x+mlnx，所以F′(x)=

2x2-x+m

x

 (x＞0)，
F（x）有两个极值点x₁、x₂等价于
方程2x²-x+m=0在（0，+∞）上有两个不等的正根
∴

解析 相关题目 已知函数f（x）=x2-x，g（x）=lnx．（ 已知f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的 已知函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，g（x 已知定义域为R的函数f（x）对任意的x，y 已知f（x）=tanx-cos（x+m）为奇函数 下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+ f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1] 定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递 已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a＞1） 对于定义在R上的函数f（x），有下述命题： 闽ICP备2021017268号-8