题目

判断函数f（x）=x-

1

x

 的奇偶性，单调性，并利用定义证明．

答案

函数的定义域为：x∈（-∞，0）∪（0，+∞）
f（-x）=-x+

1

x

=-f（x），函数是奇函数；
任取x₁＜x₂＜0，f（x₁）-f（x₂）=（ x₁-

1

x 1

）-（x₂-

1

x 2

）
=

(x 1x 2+1)(x 1-x 2)

x 1x 2

＜0，即
因为x₁＜x₂＜0，所以f（x₁）＜f（x₂），函数在（-∞，0）上是增函数
同样方法证明，当x₂＞x₁＞0时，f（x₂）＞f（x₁），函数在（0，+∞）上是增函数
综上所述，当x≠0时，函数的单调增区间是（-∞，0）和（0，+∞）．

解析