题目

已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立．
（Ⅰ）求证：f（x）是周期函数．
（Ⅱ）已知f（-4）=2，求f（2012）．

答案

（Ⅰ）证明：∵f（x）=f（x+1）+f（x-1），∴f（x+1）=f（x）-f（x-1），
则f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1）-f（x）=f（x）-f（x-1）-f（x）=-f（x-1），
所以f（x+3）=f[（x+1）+2]=-f[（x+1）-1]=-f（x），
f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=f（x），所以f（x）是周期函数，且6是它的一个周期．
（Ⅱ）f（2012）=f（335×6+2）=f（2）=f[6+（-4）]=f（-4）=2．

解析