已知函数f(x)=aa2-1(ax-a-

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f(x)=

a
a2-1
(ax-a-x) ， x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-t）+f（1-t2）＜0，求t的取值范围．

答案

（1）因为函数f（x）的定义域为R，又f（-x）=

a
a2-1
（a-x-ax）=-f（x）
所以f（x）是奇函数
当a＞1，函数f（x）为R上的增函数．
证明：在R上任取x1＜x2，
则 f(x1)-f(x2)=
a
a2-1
(ax1-a-x1-ax2+a-x2)
=
a
a2-1
(ax1-ax2)(
ax1 ax2 +1
ax1ax2
)
因为x1＜x2，又a＞1，所以 ax1＜ax2，ax1-ax2＜0，
ax1ax2+1
ax1ax2
＞0，
a
a2-1
＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
所以f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）为R上的增函数
同理，当0＜a＜1时，函数f（x）为R上的增函数
（2）由f（1-t）+f（1-t2）＜0，可得f（1-t）＜-f（1-t2）．
由函数f（x）是奇函数，可得f（1-t）＜f（t2-1）．
又函数f（x）为R上的增函数，所以1-t＜t2-1，即t2+t-2＞0．

解析

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