题目

使得关于x的不等式a^x≥x≥log_ax（0＜a≠1）在区间（0，+∞）上恒成立的正实数a的取值范围是_{______}．

答案

当a＞1，由题意可得y=a^x与y=log_ax互为反函数，故问题等价于a^x≥x（0＜a≠1）在区间（0，+∞）上恒成立
构造函数f（x）=a^x-x，则f′（x）=a^xlna-1=0，得x=loga

1

lna

，且此时函数f（x）取到最小值，故有aloga

1

lna

-loga

1

lna

≥0，解得a≥e

1

e

当0＜a＜1时，不符合条件，舍去，
故答案为a≥e

1

e

．

解析