题目

设函数f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx(a，b，c∈R，a≠0)的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数g(x)=k(x)-

1

2

x为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（-1）=0；②对一切实数x，不等式k(x)≤

1

2

x2+

1

2

恒成立．
（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；
（Ⅱ）求证：

1

k(1)

+

1

k(2)

+…+

1

k(n)

＞

2n

n+2

（n∈N^*）．

答案

（Ⅰ）由已知得：k（x）=f"（x）=ax²+bx+c．…（1分）
由g(x)=k(x)-

1

2

x为偶函数，得g(x)=ax2+bx+c-

1

2

x为偶函数，显然有b=

1

2

．…（2分）
又k（-1）=0，所以a-b+c=0，即a+c=

1

2

．…（3分）
又因为k(x)≤

1

2

x2+

1

2

对一切实数x恒成立，
即对一切实数x，不等式(a-

1

2

)x2+

1

2

x+c-

1

2

≤0恒成立．…（4分）
显然，当a=

1

2

时，不符合题意．…（5分）
当a≠

1

2

时，应满足

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