已知函数f（x）=xlnx，g(x)=x+a2

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=xlnx，g(x)=x+

a2
x
，（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[1，e]都有g（x1）≥f（x2）成立，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，
∴x＞0，f′（x）=lnx+1，
由f′（x）=lnx+1＞0，得x＞

1
e
，
∴f（x）的增区间是（
1
e
，+∞）．
由f′（x）=lnx+1＜0，得x＜
1
e
，
∴f（x）的减区间是（0，
1
e
）．
∴f（x）在区间[1，e]上上单调递增，
∴f（x）在区间[1，e]上的最大值f（x）max=f（e）=elne=e．
（Ⅱ）对任意的x1，x2∈[1，e]都有g（x1）≥f（x2）成立，等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[g（x）]min≥[f（x）]max．
当x∈[1，e]时，f′（x）=lnx+1＞0．
∴函数f（x）=xlnx在[1，e]上是增函数．
∴[f（x）]max=f（e）=e．
∵g(x)=x+
a2
x
，（a＞0），
∴g ′(x)=1-
a2
x2
=
(x+a)(x-a)
x2
，且x∈[1，e]，a＞0．
①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，g′(x)= 
(x+a)(x-a)
x2
＞0，
∴函数g(x)=x+
a2
x
，在[1，e]上是增函数，
∴[g（x）]min=g（1）=1+a2．
由1+a2≥e，得a≥

解析

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