题目

（本小题满分12分）
已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.
（1）求证: 为奇函数;
（2）求证: 在上为单调递增函数;
（3）设,若<,对所有恒成立,求实数的取值范围.

答案

（1）见解析（2）见解析（3）

解析

试题分析：（1）因为有，
令，得，所以，……1分
令可得：
所以，所以为奇函数.……4分
（2）是定义在上的奇函数,由题意
则，

是在上为单调递增函数; ……8分
（3）因为在上为单调递增函数，
所以在上的最大值为， ……9分
所以要使<,对所有恒成立，
只要>1,即>0， ……10分
令

. ……12分
点评：解决抽象函数问题常用的方法是“赋值法”，而要考查抽象函数的性质，还要借助图象,数形结合来解决.对于恒成立问题，要转为为求最值来解决，而（３）中将函数转化为关于的函数，是这道题解题的亮点所在．