题目

（本题满分12分） 如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝（>2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝，绿地面积为.

（1）写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域;
（2）当AE为何值时，绿地面积最大？  （10分）

答案

（1）y＝－2x²＋（＋2）x，(0<x≤2) ；
（2）当<6时，AE＝时，绿地面积取最大值
当≥6时，AE＝2时，绿地面积取最大值2－4。

解析

试题分析：（1）先求得四边形ABCD，△AHE的面积，再分割法求得四边形EFGH的面积，即建立y关于x的函数关系式；
（2）由（1）知y是关于x的二次函数，用二次函数求最值的方法求解．
解：（1）S_ΔAEH＝S_ΔCFG＝x²， S_ΔBEF＝S_ΔDGH＝（－x）（2－x）
∴y＝S_ABCD－2S_ΔAEH－2S_ΔBEF＝2－x²－（－x）（2－x）＝－2x²＋（＋2）x
∴y＝－2x²＋（＋2）x，(0<x≤2)（4分）
（2）当，即<6时，则x＝时，y取最大值
当≥2，即≥6时，y＝－2x²＋（＋2）x，在0，2]上是增函数，
则x＝2时，y取最大值2－4
综上所述：当<6时，AE＝时，绿地面积取最大值
当≥6时，AE＝2时，绿地面积取最大值2－4。
点评：解决该试题的关键是运用间接法，分割的思想来得到四边形EFGH的面积，从而建立关于x的函数关系式，运用该函数的思想求解最值。