题目

（本小题满分14分）
已知函数.
(1)求证：函数在上是单调递增函数；
(2)当时，求函数在上的最值；
(3)函数在上恒有成立，求的取值范围.

答案

(1) 函数在上是单调递增函数. (2) 的最小值为，此时；无最大值. (3) 的取值范围是.

解析

试题分析：(1)证明函数在上是单调递增函数本质就是证明在上恒成立.
（2）当时,令，然后得到极值点，进而求出极值，再与值比较从而得到f(x)的最大值与最小值.
(3) 函数在上恒有成立问题应转化为,
然后利用导数研究f(x)在区间[1,2]的极值，最值即可求出其最小值，问题得解.
(1)（法一：定义法）
任取且,则.········1分
∵，
∴. ·······3分
∴ 函数在上是单调递增函数. ········4分
（法二：导数法）
当，
∴ 函数在上是单调递增函数. ········4分
(2) 当时，；
由（1）知函数在上是单调递增函数.·······5分
∴，即·······7分
∴ 的最小值为，此时；无最大值. ·······8分
(3) 依题意， ，即在上恒成立.
∵函数在上单调递减，∴······11分
∴ ，
又. ∴
故的取值范围是. ·······14分
点评：（1）连续可导函数在某个区间I上单调递增（减）等价于在区间I上恒成立.
（2）在求某个区间上的最值时，应先求出极值，然后从极值与区间端点对应的函数值当中找到最大值和最小值.
（3）不等式恒成立问题一般要转化为函数最值来研究.