题目

已知f(x)=(x≠a).
（1）若a=-2,试证f(x)在（-∞,-2）内单调递增；
（2）若a＞0且f(x)在（1,+∞）内单调递减，求a的取值范围.

答案

（1）证明见解析（2）0＜a≤1

解析

（1）证明 任设x₁＜x₂＜-2,则f(x₁)-f(x₂)=
∵(x₁+2）(x₂+2)＞0,x₁-x₂＜0,∴f(x₁)＜f(x₂),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.
（2）解 任设1＜x₁＜x₂,则f(x₁)-f(x₂)=
∵a＞0,x₂-x₁＞0,∴要使f(x₁)-f(x₂)＞0,只需(x₁-a)(x₂-a)＞0恒成立，
∴a≤1.综上所述知0＜a≤1.