题目

已知函数f(x)=（a^x-a^-x） (a＞0，且a≠1).
(1)判断f(x)的单调性；
（2）验证性质f(-x)=-f(x),当x∈(-1,1)时，并应用该性质求满足f(1-m)+f(1-m²)＜0的实数m的范围.

答案

（1）f(x)在R上为增函数（2）1＜m＜

解析

（1）设x₁＜x₂,x₁-x₂＜0,1+＞0.
若a＞1,则, ＞0,
所以f(x₁)-f(x₂)=＜0，
即f(x₁)＜f(x₂),f(x)在（-∞,+∞）上为增函数；
同理，若0＜a＜1，则,＜0,
f(x₁)-f(x₂)=(1+)＜0,
即f(x₁)＜f(x₂),f(x)在（-∞,+∞）上为增函数.
综上，f(x)在R上为增函数.
（2）f(x)=则f(-x)=,
显然f(-x)=-f(x).f(1-m)+f(1-m²)＜0,
即f(1-m)＜-f(1-m²)f(1-m)＜f(m²-1),
函数为增函数，且x∈(-1,1)，故解-1＜1-m＜m²-1＜1,可得1＜m＜.