题目

讨论函数f（x）=x+（a＞0）的单调性.

答案

f（x）分别在（-∞，-］、［，+∞）上为增函数；f（x）分别在［-，0）、（0，］上为减函数

解析

方法一 显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，设x₁＞x₂＞0,则
f(x₁)-f(x₂) =（x₁+）-（x₂+）=(x₁-x₂)·（1-）.
∴当0＜x₂＜x₁≤时，＞1,
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f(x₁)＜f(x₂),故f（x）在（0，］上是减函数.
当x₁＞x₂≥时，0＜＜1，则f（x₁）-f（x₂）＞0,即f(x₁)＞f(x₂),
故f（x）在［，+∞）上是增函数.∵f（x）是奇函数，
∴f（x）分别在（-∞，-］、［，+∞）上为增函数；f（x）分别在［-，0）、（0，］上为减函数.
方法二 由f ′（x）=1-=0可得x=±
当x＞时或x＜-时，f ′(x)＞0，∴f（x）分别在（，+∞）、（-∞，-］上是增函数.
同理0＜x＜或-＜x＜0时，f′（x）＜0
即f（x）分别在（0，］、［-，0）上是减函数.