题目

已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：函数f（x）在R上是增函数；
（2）若关于x的不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集为{x|-3＜x＜2}，求f（2009）的值；
（3）在（2）的条件下，设a_n=|f（n）-14|（n∈N^*），若数列{a_n}从第k项开始的连续20项之和等于102，求k的值．

答案

（1）证明：设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，从而f（x₁-x₂）＞1，即f（x₁-x₂）-1＞0．（2分）
f（x₁）=f[x₂+（x₁-x₂）]=f（x₂）+f（x₁-x₂）-1＞f（x₂），
故f（x）在R上是增函数．（4分）
（2）设2=f（b），于是不等式为f(x_-ax+5a)＜f(b)．
则x_-ax+5a＜b，即x_-ax+5a-b＜0．（6分）
∵不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集为{x|-3＜x＜2}，
∴方程x²-ax+5a-b=0的两根为-3和2，
于是