题目

已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+

1

x

+2的图象关于点A（0，1）对称．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）=x²•[f（x）-a]，且g（x）在区间[1，2]上为增函数，求实数a的取值范围．

答案

（I）设f（x）的图象上任一点P（x，y），
则点P关于点A（0，1）对称P′（-x，2-y）在h（x）的图象上，
∴2-y=-x-

1

x

+2，得y=x+

1

x

，即f（x）=x+

1

x

，
（II）由（I）得，g（x）=x²•[f（x）-a]=x²•[x+

1

x

-a]=x³-ax²+x，
则g′（x）=3x²-2ax+1，
∵g（x）在区间[1，2]上为增函数，
∴3x²-2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立，
即a≤

1

2

（3x+

1

x

）在区间[1，2]上恒成立，
∵y=3x+

1

x

在区间[1，2]上递增，故此函数的最小值为y=4，
则a≤

1

2

×4=2．

解析