已知函数f(x)=11-x+lg1+x

难度：一般 题型：解答题 来源：南汇区一模

题目

已知函数f(x)=

1
1-x
+lg
1+x
1-x

（1）求函数f（x）的定义域，并判断它的单调性（不用证明）；
（2）若f（x）的反函数为f-1（x），证明方程f-1（x）=0有解，且有唯一解；
（3）解关于x的不等式f[x（x+1）]＞1．

答案

（1）由

1+x
1-x
＞0，及1-x≠0，得：-1＜x＜1，
∴f（x）的定义域为（-1，1），…（2分）
由于y=lg
1+x
1-x
=lg(-1+
2
1-x
)和y=
1
1-x
在（-1，1）上都是增函数，
∴f（x）在定义域（-1，1）内是增函数．…（4分）
（2）令x=0，得f（0）=1．即x=0是方程f-1（x）=0的一个解…（7分）
设x1≠0是f-1（x）=0的另一解，则由反函数的定义知f（0）=x1≠0，
这与f（0）=1矛盾，故f-1（x）=0有且只有一个解．…（10分）
（3）由f[x（x+1）]＞1=f（0），且f（x）为定义在（-1，1）上的增函数，得0＜x（x+1）＜1，
解得-
1+

解析

相关题目