题目

已知函数f（x）定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，则f（2009）=______．

答案

由题意知，对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），
故f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x），
则此函数的值构成了一个等差数列，首项f（1）=2，公差为

f(3)-f(1)

2

=2，
∴f（2009）=2+2008×2=4018．
故答案为：4018．

解析