题目

已知函数f（x）=2^x．
（1）求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0），使f（2x）-af（x）＞1成立，求a的取值范围；
（3）若当x∈[0，3]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]恒成立，求a的取值范围．

答案

（1）F（x）=2^x+a•2^2x，x∈（-∞，0]．
令2^x=t，因x∈（-∞，0]，故t∈（0，1]．
2^x+a•2^2x=at²+t（0＜t≤1）．（2分）
当a=0时，F（x）_max=1．（3分）
当a≠0时，令g（t）=at2+t=a(t+

1

2a

)2-

1

4a

(0＜t≤1)．
若a＞0，t=1时g（t）取最大值，g（1）=a+1．（4分）
若-

1

2

＜a＜0，t=1时g（t）取最大值，g（1）=a+1．（5分）
若a≤-

1

2

，t=-

1

2a

时g（t）取最大值，g(-

1

2a

)=-

1

4a

．（6分）
综上，F(x)max=

解析 相关题目 已知函数f（x）=2x．（1）求函数F（x）=f 若x∈（0，1）则x（1-x）的最大值为____ 函数y=x+5x-a在（-1，+∞）上单调 设z是虚数，满足ω=z+1z是实数，且-1 设奇函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数， 已知函数f(n)=1，n= 已知q（x），g（x）均为R上的奇函数，若函数f 函数f（x）=2x-ax的定义域为（0，1 若f（x）=-x2+2ax与g（x）=ax+ 若f（x）=（x-1）3+1，则f（-5）+f（ 闽ICP备2021017268号-8