题目
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| -1≤i≤j≤5 |
（1）当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值；
（2）进一步地，对任意1≤i，j≤5有
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答案 | |||||||||
| （1）首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值． x1+x2+x3+x4+x5=2006，且使S=
事实上，假设（*）不成立，不妨假设x1-x2≥2，则令x1′′=x1-1，x2′=x2+1，xi′=xi （i=3，4，5），有x1′+x2′=x1+x2，x1′•x2′=x1x2+x1-x2-1＞x1x2． 将S改写成S=
同时有 S′=x1′x2′+（x1′+x2′）（（x3+x4+x5）+x3x4+x3x5+x4x5． 于是有S′-S=x1′x2′-x1x2＞0． 这与S在x1，x2，x3，x4，x5时取到最大值矛盾． 所以必有|xi-xj|≤1，（1≤i，j≤5）． 因此当x1=402，x2=x3=x4=x5=401时S取到最大值．…（10分） （2）当x1+x2+x3+x4+x5=2006，且|xi-xj|≤2时，只有 （1）402，402，402，400，400； （2）402，402，401，401，400； （3）402，401，401，401，401； 三种情形满足要求．…（15分） 而后两种情形是由第一组作xi′=xi-1，xj′=xj+1调整下得到的． 根据上一小题的证明可知道，每次调整都使和式S=
所以在x1=x2=x3=402，x4=x5=400时S取到最小值．…（20分） |
