题目

在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
关于函数f(x)=(2x)*

1

2x

的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为奇函数；③函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-

1

2

)，(

1

2

，+∞)．其中所有正确说法的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

答案

在（3）中，令c=0，则a*b=ab+a+b⇒f(x)=1+2x+

1

2x

，
因x没有范围故不能直接利用不等式求最值，故①不正确
而②显然不正确
而f′(x)=2-

1

2x2

=0⇒x=±

1

2

，
易知函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-

1

2

)，(

1

2

，+∞)，
故选B．

解析