已知函数f（x）=x2-2ax-（2a+2）（Ⅰ

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=x2-2ax-（2a+2）
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞x；
（Ⅱ）若f（x）+3≥0在区间（-1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

答案

解（Ⅰ）由f（x）＞x得x2-（2a+1）x-（2a+2）＞0，即（x-2a-2）（x+1）＞0，
当2a+2＞-1，即a＞-

3
2
时，原不等式的解为x＞2a+2或x＜-1，
当2a+2=-1，即a=-
3
2
时，原不等式的解为x∈R且x≠-1，
当2a+2＜-1，即a＜-
3
2
时，原不等式的解为x＞-1或x＜2a+2．
综上，当a＞-
3
2
时，原不等式的解集为{x|x＞2a+2或x＜-1}；
当a=-
3
2
时，解集为{x|x∈R且x≠-1}；
当a＜-
3
2
时，解集为{x|x＞-1或x＜2a+2}．
（Ⅱ）由f（x）+3≥0得x2-2a（x+1）+1≥0在（-1，+∞）上恒成立，
即2a≤(
x2+1
x+1
)min在（-1，+∞）上恒成立．
令t=x+1（t＞0），则
x2+1
x+1
=
(t-1)2+1
t
=t+
2
t
-2≥2

解析

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