题目

已知函数f(x)=

ax+b

x2+1

在点M(1，f(1))处的切线方程为x-y-1=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=lnx，证明：g（x）≥f（x）对x∈[1，+∞）恒成立．

答案

（Ⅰ）将x=1代入切线方程x-y-1=0，得y=0，∴f（1）=0．
又f(1)=

a+b

2

，化简得a+b=0．
f′(x)=

a(x2+1)-(ax+b)•2x

(1+x2)2

，f′(1)=

2a-2(a+b)

4

=

-2b

4

=

-b

2

=1．
解得a=2，b=-2，
∴f(x)=

2x-2

x2+1

．
（Ⅱ）证明：要证lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立，
即证（x²+1）lnx≥2x-2在[1，+∞）上恒成立，
即证x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．
设h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，则h′(x)=2xlnx+x+

1

x

-2．
∵x≥1，∴2xlnx≥0，x+

1

x

≥2，即h"（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上x∈[1，+∞）单调递增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在上恒成立．

解析