已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（1）讨

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）讨论y=f（x）的单调性；（2）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有不等式

1
2
[g(x1)+g(x2)]≥g(
x1+x2
2
)成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凹函数”．
试证明：当a=-1时，g(x)=|f(x)|+
1
x
为“凹函数”．

答案

（1）当a=0时，函数f（x）=lnx在（0，+∞）上是增函数；…（1分）
由已知，x∈（0，+∞），f′(x)=a+

1
x
=
ax+1
x
，…（3分）
当a＞0时，f"（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；…（4分）
当a＜0时，解f′(x)=
ax+1
x
＞0得0＜x＜-
1
a
，解f"（x）＜0得x＞-
1
a
，
所以函数f（x）在(0，-
1
a
)上是增函数，在(-
1
a
，+∞)上是减函数．…（5分）
综上，当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，函数f（x）在(0，-
1
a
)上是增函数，在(-
1
a
，+∞)上是减函数．
（2）当a=-1时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=-1，即f（x）＜0恒成立．
所以g(x)=|f(x)|+
1
x
=-f(x)+
1
x
=
1
x
+x-lnx，x∈（0，+∞）．…（6分）
设x1，x2∈（0，+∞），
计算
1
2
[g(x1)+g(x2)]=
1
2
(
1
x1
+x1-lnx1+
1
x2
+x2-lnx2)=
x1+x2
2x1x2
+
x1+x2
2
-ln

解析

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