题目

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值．

答案

∵f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（x）≠1，
∴f（x+2）=

1+f(x)

1-f(x)

，
f（x+4）=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

．
所以f（x+8）=-

1

f(x+4)

=f(x)．
所以f（x）是以8为周期的周期函数，
∵f（1）=1997，2001=8×250+1，
∴f（2001）=f（1）=1997．

解析