题目

已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x）-x的最大值；
（2）若∀x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）g（x）=f（x）-x=lnx-x（x＞0），则g′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

．
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上单调递减，
所以，g（x）在x=1处取得最大值，且最大值为-1． …（3分）
（2）由条件得

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