已知函数f(x)=x2+ax+bx(x≠

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f(x)=

x2+ax+b
x
(x≠0)是奇函数，且满足f（1）=f（4）
（Ⅰ）求实数a、b的值； 
（Ⅱ）试证明函数f（x）在区间（0，2]单调递减，在区间（2，+∞）单调递增；
（Ⅲ）是否存在实数k同时满足以下两个条件：
①不等式f(x)+
k
2
＜0对x∈（0，+∞）恒成立；
②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解．若存在，试求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ） 由f（1）=f（4）得1+a+b=

16+4a+b
4
，解得b=4．…（1分）
由f(x)=
x2+ax+b
x
(x≠0)为奇函数，得f（x）+f（-x）=0对x≠0恒成立，
即
x2+ax+b
x
+
x2-ax+b
-x
=2a=0，所以a=0．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=x+
4
x
．
任取x1，x2∈（0，2]，且x1＜x2，f(x1)-f(x2)=(x1+
4
x1
)-(x2+
4
x2
)=(x1-x2)
x1x2-4
x1x2
，…（5分）
∵0＜x1＜x2≤2，∴x1-x2＜0，x1x2＞0，x1x2-4＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2），
所以，函数f（x）在区间（0，2]单调递减．…（7分）
类似地，可证f（x）在区间（2，+∞）单调递增．…（8分）
（Ⅲ）对于条件①，由（Ⅱ）得函数f（x）在（0，+∞）上有最小值f（2）=4，
故若f(x)+
k
2
＜0对x∈（0，+∞）恒成立，
则需f（x）min＞-
k
2
，则4＞-
k
2
，
∴k＞-8；
对于条件②，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（-∞，-2）上递增，在[-2，0）上递减，
∴函数f（x）在[-6，-2]上递增，在[-2，0）上递减，
又f（-6）=-
20
3
，f（-2）=-4，f（-1）=-5，
所以函数f（x）在[-6，-1]上的值域为[-
20
3
，-4]，
若方程f（x）=k在[-6，-1]上有解，则需-
20
3
≤k≤-4，
若同时满足条件①②，则需

解析

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