题目

已知函数f（x）的定义域为R，对任意x₁，x₂，满足f(x1)+f(x2)=2f(

x1+x2

2

)•f(

x1-x2

2

)，且f（0）≠0，则函数f（x）（　　）

A．是奇函数，但不是偶函数

B．是偶函数，但不是奇函数

C．是奇函数，且是偶函数

D．既不是奇函数，也不是偶函数

答案

∵f(x1)+f(x2)=2f(

x1+x2

2

)•f(

x1-x2

2

)
∴设x₁=x₂=0，则f（0）+f（0）=2f（0）•f（0）
f（0）≠0，
∴f（0）=1．
设x₁=x，x₂=-x，则f（x）+f（-x）=2f（0）•f（x）
∴f（-x）=f（x），故f（x）是偶函数，
若f（-x）=-f（x），⇒f（x）≡0，⇒f（0）=0
与f（0）≠0矛盾．
故f（x）是偶函数，但不是奇函数．
故选B．

解析