已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=

3x
9x+1
-
1
2
，
（1）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（2）求y=f（x）的值域；
（3）求不等式f(x)＞
1
3
的解集．

答案

（1）设x1＜x2＜0，则3x1＜3x2，3x1+x2＜1
∵f(x1)-f(x2)=

3x1
9x1+1
-
3x2
9x2+1
=
3x1+2x2+3x1-32x1+x2-3x2
(9x1+1)(9x2+1)
=
(3x1-3x2)(1-3x1+x2)
(9x1+1)(9x2+1)
＜0，
∴f（x1）＜f（x2），即y=f（x）在（-∞，0）上是增函数． 
（2）∵0＜
3x
9x+1
=
1
3x+
1
3x
≤
1
2
，
∴当x≤0时，f(x)=
3x
9x+1
-
1
2
∈(-
1
2
，0]； 
∵当x＞0时，f(x)=
1
2
-
3x
9x+1
∈(0，
1
2
)． 
综上得 y=f（x）的值域为 (-
1
2
，
1
2
)．
（3）∵f(x)∈(-
1
2
，
1
2
)，
又∵f(x)＞
1
3
，∴f(x)∈(
1
3
，
1
2
)，此时f(x)=
1
2
-
3x
9x+1
单调递增，
∵f(1)=
1
5
＜
1
3
，∴f(x)∈(
1
3
，
1
2
)时，x＞1⇒3x＞3．
令
1
2
-
3x
9x+1
＞
1
3
，
即
3x
9x+1
＜
1
6
⇒32x-6•3x+1＞0⇒3x＞3+2

解析

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