题目

已知函数f（x）=

px2+2

q-3x

是奇函数，且f（2）=-

5

3

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：f（

1

x

）=f（x）；
（3）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明．

答案

（1）∵函数f（x）=

px2+2

q-3x

是奇函数，∴

px2+2

q+3x

= -

px2+2

q-3x

∴q=0，∴f(x)=

px2+2

-3x

∵f（2）=-

5

3

，∴p=2
∴f(x)=-

2

3

(x+

1

x

)
（2）证明：∵f(x)=-

2

3

(x+

1

x

)
∴f(

1

x

)=-

2

3

(x+

1

x

)
∴f（

1

x

）=f（x）；
（3）增函数
设x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，1）
f(x1)-f(x2)=-

2

3

(x 1+

1

x 1

-x2-

1

x2

)=-

2

3

×

(x1-x2)(1-x1x2)

x1x2

∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，1）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函数f（x）在（0，1）上单调增

解析