设f（x）=3ax2+2bx+c，且a+b+c=

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设f（x）=3ax2+2bx+c，且a+b+c=0，，求证：
（1）若f（0）•f（1）＞0，求证：-2＜

b
a
＜-1；
（2）在（1）的条件下，证明函数f（x）的图象与x轴总有两个不同的公共点A，B，并求|AB|的取值范围．
（3）若a＞b＞c，g（x）=2ax2+（a+b）x+b，求证：x≤-

答案

（1）若a=0，则b=-c，f（0）•f（1）=c•（3a+2b+c）=-c2≤0与已知矛盾∴a≠0…（2分）
由f（0）•f（1）＞0，得c（3a+2b+c）＞0
由条件a+b+c=0消去c，得（a+b）（2a+b）＜0∵a2＞0∴(1+
b
a
)(2+
b
a
)＜0，∴-2＜
b
a
＜-1…（4分）
（2）方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4（b2-3ac）
由条件a+b+c=0消去b，得△=4(a2+c2-ac)=4[(a-
c
2
)2+
3
4
c2]＞0∴方程f（x）=0有实根
即函数f（x）的图象与x轴总有两个不同的交点A、B．设A（x1，0），B（x2，0）
由条件知x1+x2=-
2b
3a
x1x2=
c
3a
=-
a+b
3a
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=
4
9
•
b2
a2
+
4
3
(1+
b
a
)=
4
9
•(
b
a
+
3
2
)2+
1
3
∵-2＜
b
a
＜-1∴
1
3
≤(x1-x2)2＜
4
9
∴

解析

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