题目

已知定义在R上的函数f（x）满足以下条件：①f（1）=2；②当x＞0时，f（x）＞1；③对任何x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（y）求证：
（1）f（0）=1；
（2）当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（3）函数f（x）在R上是单调增函数．

答案

证明：（1）令x=0，y=1，则f（1）=f（1+0）=f（1）f（0）=2f（0）=2
∴f（0）=1；
（2）当x＜0时，-x＞0，则f（-x）＞1
∴f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1
∴f(x)=

1

f(-x)

∴当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（3）设x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
∴

f(x1)

f(x2)

=

f[(x1-x2)+x2]

f(x2)

=

f(x1-x2)f(x2)

f(x2)

=f（x₁-x₂）＜1
由（1）知，f（x）＞0，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在R上是单调增函数．

解析