题目

已知函数f（x）=ax³-2bx²+3cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，且当x=1时，f（x）取极小值-

2

3

．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的结论．

答案

（1）由函数f（x）=ax³-2bx²+3cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，可知函数f（x）为定义域上的奇函数，
所以b=0，则f（x）=ax³+3cx，f′（x）=3ax²+3c．
又当x=1时，f（x）取极小值-

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3

，
所以

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