题目

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）求实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求a的值；
（2）若g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]及λ所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围；
（3）讨论关于x的方程

答案

（1）因为函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，
所以f（-0）=-f（0）即f（0）=0，
则ln（e⁰+a）=0解得a=0，
a=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；
（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g"（x）=λ+cosx，
因为g（x） 在[-1，1]上单调递减，∴g"（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立，
∴λ≤-1，g（x）_max=g（-1）=-1-sin1，
只需-λ-sin1≤t²+λt+1（λ≤-1），
∴（t+1）λ+t²+sin1+1≥0（λ≤-1）恒成立，
令h（λ）=（t+1）+t²+sin1+1（λ≤-1）
则