题目

对于任意实数a（a≠0）和b及m∈[1，2]，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|•（m²-km+1）恒成立，则实数k的取值范围为______．

答案

由|a+b|+|a-b|≥|a|•（m²-km+1），（a≠0）得：

|a+b|+|a-b|

|a|

≥m²-km+1，则
左边=

|a+b|+|a-b|

|a|

≥

|a+b+a-b|

|a|

=2，设右边=g（m）=m²-km+1为对称轴为x=

k

2

的开口向上的抛物线，由m∈[1，2]，
当

k

2

≤1即k≤2时，得到g（2）=4-2k+1为g（m）的最大值，即4-2k+1≤2，解得k≥

3

2

，所以

3

2

≤k≤2；
当

k

2

≥2即k≥4时，g（1）=1-k+1为函数的最大值，即2-k≤2，得到k≥0，所以4≤k；
当1≤

k

2

≤2即2≤k≤4时，g（1）或g（2）为函数的最大值，

3

2

≤k或k≥0，所以2≤k≤4．
综上，k的取值范围为[

3

2

，+∞）
故答案为[

3

2

，+∞）

解析