已知函数g(x)=4x-n2x是奇函数，

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数g(x)=

4x-n
2x
是奇函数，f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函数．
（1）求m+n的值；
（2）设h(x)=f(x)+
1
2
x，若g（x）＞h[log4（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，
∴g（0）=0，即

40-n
20
=0⇒n=1，…（3分）
∵f(x)=log4(4x+1)+mx，
∴f(-x)=log4(4-x+1)-mx=log4(4x+1)-(m+1)x，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），得mx=-（m+1）x恒成立，故m=-
1
2
，
综上所述，可得m+n=
1
2
；…（4分）
（2）∵h(x)=f(x)+
1
2
x=log4(4x+1)，
∴h[log4（2a+1）]=log4（2a+2），…（2分）
又∵g(x)=
4x-1
2x
=2x-2-x在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x≥1时，g(x)min=g(1)=
3
2
…（3分）
由题意，得

解析

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