已知数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，Sn

难度：一般题型：解答题来源：不详 2023-10-26 00:30:02

题目

已知数列{a_n}的前N项和为S_n，a₁=1，S_n+1=2S_n+3n+1（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+3}是等比数列；
（2）对k∈N*，设f(n)=

答案

（1）∵a₁=1，S_n+1=2S_n+3n+1，∴S₂=2S₁+4=a₁+a₂．∴a₂=5．
又当n≥2时，S_n=2S_n-1+3（n-1）+1，∴S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+3，
即得a_n+1=2a_n+3．a_n+1+3=2（a_n+3），（n≥2）．----------------------------（4分）

a2+3

a1+3

=2，∴数列{a_n+3}是公比为2，首项为a₁+3=4的等比数列．…（2分）
（2）由（1），知a_n+3=4•2^n-1．∴an=2n+1-3，Sn=

4(1-2n)

1-2

-3n=2n+2-3n-4．
∴f(n)=

已知数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，Sn

题目

答案

解析