题目

当0≤x≤1时，不等式sin

πx

2

≥kx成立，则实数k的取值范围是______．

答案

由题意知：
∵当0≤x≤1时 sin

πx

2

≥kx
（1）当x=0时，不等式sin

πx

2

≥kx恒成立  k∈R
（2）当0＜x≤1时，不等式sin

πx

2

≥kx可化为
 k≤

sin πx 2

x

 
要使不等式k≤

sin πx 2

x

恒成立，则k≤(

sin πx 2

x

)min成立
令f（x）=

sin πx 2

x

  x∈（0，1]
 即f"（x）=

π 2 xcos πx 2  -sin πx 2

x2

再令g（x）=

π

2

 xcos

πx

2

-sin

πx

2

 
 
g"（x）=-

π2

4

xsin

πx

2

 
∵当0＜x≤1时，g"（x）＜0
∴g（x）为单调递减函数
∴g（x）＜g（0）=0
∴f"（x）＜0
 即函数f（x）为单调递减函数
所以 f（x）min=f（1）=1即k≤1
 综上所述，由（1）（2）得  k≤1
故此题答案为 k∈（-∞，1]．

解析