题目

已知函数f（x）满足下列条件：（1）函数f（x）定义域为[0，1]；（2）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（0）=0，f（1）=1；（3）对于满足条件x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1的任意两个数x₁，x₂，有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（Ⅰ）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）；
（Ⅱ）证明：对于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x；
（Ⅲ）不等式f（x）≤1.9x对于一切x∈[0，1]都成立吗？

答案

（Ⅰ）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，
则0≤y-x≤1，∴f（y-x）≥0．
∴f（y）=f（y-x+x）≥f（y-x）+f（x）≥f（x）．
∴对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）．（5分）
（Ⅱ）由已知条件可得f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x），
∴当x=0时，f（0）=0≤2×0，
∴当x=0时，f（x）≤2x．
假设存在x₀∈（0，1]，使得f（x₀）＞2x₀，
则x₀一定在某个区间x0∈(

1

2k

，

1

2k-1

]上．
设x0∈(

1

2k

，

1

2k-1

]，
则f（2x₀）＞4x₀，f（4x₀）＞8x₀，┅，f（2^k-1x₀）＞2^kx₀．
由x0∈(

1

2k

，

1

2k-1

]；
可知

1

2

＜2k-1x0≤1，且2^kx₀＞1，
∴f（2^k-1x₀）≤f（1）=1，
又f（2^k-1x₀）＞2^kx₀＞1．
从而得到矛盾，因此不存在x₀∈（0，1]，使得f（x₀）＞2x₀．
∴对于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x．（10分）
（Ⅲ）取函数f(x)=

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