已知函数f（x）=lnx-14x+34

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=lnx-

1
4
x+
3
4x
-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=-x2+2bx-4，若对任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2） 恒成立，求实数b的取值范围．

答案

（Ⅰ）f（x）=lnx-

1
4
x+
3
4x
-1的定义域是（0，+∞）．
f′（x）=
1
x
-
1
4
-
3
4x2
=
4x-x2-3
4x2
=
-(x-1)(x-3)
4x2
，
由x＞0及f′（x）＞0得1＜x＜3；由x＞0及f′（x）＜0得0＜x＜1或x＞3，
故函数f（x）的单调递增区间是（1，3）；单调递减区间是（0，1），（3，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，
所以当x∈（0，2）时，f(x)min=f(1)=-
1
2
，
对任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，
问题等价于-
1
2
≥g（x）对任意x∈[1，2]恒成立，即-
1
2
≥-x2+2bx-4恒成立．
不等式可变为b≤
x2+
7
2
2x
=
x
2
+
7
4x
，
因为x∈[1，2]，所以
x
2
+
7
4x
≥2

解析

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