题目

已知b函数f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，∞）．
（1）当a＜0时，判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）当a=

1

2

时，求函数f（x）的最值．

答案

（1）当a＜0时，函数f（x）是[1，+∞）单调增函数．（1分）
证明：任取x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

x12+2x1+a

x1

-

x22+2x2+a

x2

=

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

，（4分）
∵x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，a＜0
∴

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

＜0，（6分）
∴f（x₁）＜f（x₂）
由单调性定义知f（x）为[1，+∞）单调增函数．（8分）
（2）当a=

1

2

时，同理可证f（x）在[1，∞）是增函数，（10分）
∴当x=1时，f（x）的最小值为f(1)=

7

2

（12分）
又f（x）无最大值，（14分）
∴f（x）只存在最小值为

7

2

．（15分）
（若用导数处理则类似给分）

解析