题目

已知函数f（x）满足：f(1)=

1

4

，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x，y∈R)，则f（2012）=（　　）

A． 1 4

B．- 1 4

C． 1 2

D．- 1 2

答案

∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
取x=1，y=0得f（0）=

1

2

法一：∵f（1）=

1

4

取x=1，y=1得f（2）=-

1

4

取x=2，y=1得f（3）=-

1

2

取x=2，y=2得f（4）=-

1

4

取x=3，y=2得f（5）=-

7

16

取x=3，y=3得f（6）=

1

2

猜想得周期为6
∴f（2012）=f（2）=-

1

4

法二：取x=1，y=0得f（0）=

1

2

取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
联立得f（n+2）=-f（n-1）
所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
所以函数是周期函数，周期T=6，
故f（2012）=f（2）=-

1

4

故选B

解析