题目

已知函数f(x)=a-

b

|x|

(x≠0)．
（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求实数b的取值范围；
（2）当b=2时，若不等式f（x）＜x在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）对于函数g（x）若存在区间[m，n]（m＜n），使x∈[m，n]时，函数g（x）的值域也是[m，n]，则称g（x）是[m，n]上的闭函数．若函数f（x）是某区间上的闭函数，试探求a，b应满足的条件．

答案

（1）当x∈（0，+∞）时，f(x)=a-

b

x

设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，由f（x）是（0，+∞）上的增函数，则f（x₁）＜f（x₂）（2分）f(x1)-f(x2)=

b(x1-x2)

x1x2

＜0（3分）
由x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞）知x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，所以b＞0，即b∈（0，+∞）（5分）
（2）当b=2时，f(x)=a-

2

|x|

＜x在x∈（1，+∞）上恒成立，即a＜x+

2

x

（6分）
因为x+

2

x

≥2

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