已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x

难度：一般 题型：解答题 来源：广州一模

题目

已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设g(x)=

f(x)
x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在极值点，并求出极值点；
（3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

答案

（1）∵关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），
即不等式x2+（a+1-2m）x+m2+m＜0的解集为（m，m+1），
∴x2+（a+1-2m）x+m2+m=（x-m）（x-m-1）．
∴x2+（a+1-2m）x+m2+m=x2-（2m+1）x+m（m+1）．
∴a+1-2m=-（2m+1）．
∴a=-2．…（2分）
（2）解法1：由（1）得g(x)=

f(x)
x-1
=
x2-2x+m+1
x-1
=(x-1)+
m
x-1
．
∴φ（x）=g（x）-kln（x-1）=(x-1)+
m
x-1
-kln（x-1）的定义域为（1，+∞）．
∴φ"（x）=1-
m
(x-1)2
-
k
x-1
=
x2-(2+k)x+k-m+1
(x-1)2
．…（3分）
方程x2-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判别式△=（2+k）2-4（k-m+1）=k2+4m．…（4分）
①当m＞0时，△＞0，方程（*）的两个实根为x1=
2+k-

解析

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