题目

已知函数f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，其中a＞0且a≠1．
（1）分别判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性；
（2）比较f（1）-1与f（2）-2、f（2）-2与f（3）-3的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明；
（3）比较

f(1)

1

与

f(2)

2

、

f(2)

2

与

f(3)

3

的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明．

答案

（1）f/(x)=

a

a2-1

(ax+a-x)lna，
若0＜a＜1，则

a

a2-1

＜0，lna＜0，所以f^/（x）＞0；
若a＞1，则

a

a2-1

＞0，lna＞0，所以f^/（x）＞0，
因此，任意a＞0且a≠1，都有f^/（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上的单调递增．
（2）直接计算知f（1）-1=0，f（2）-2=a+a^-1-2，f（3）-3=a²+a^-2-2，
根据基本不等式a+a^-1-2＞0，所以f（2）-2＞f（1）-1，
又因为(a2+a-2-2)-(a+a-1-2)=[(a+a-1)2-(

解析 相关题目 已知函数f(x)=aa2-1(ax-a- 定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f 双曲线x2a2-y2b2=1的离心率 若函数y=f（x）+sinx在区间(-π4 已知函数f（x）=2x2+bx+cx2+1 已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f 若对于任意的实数x，ax2+2x+1＞0恒成立 设f(x)=1+x21-x2，则f( 已知函数f（x）=x2+2x 若函数f（x）=a-log3x的图象经过点（1， 闽ICP备2021017268号-8