题目

已知函数ϕ(x)=

a

x+1

，a为正常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=

9

2

，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）中当a=0时，函数y=f（x）的图象上任意不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为C（x₀，y₀），记直线AB的斜率为k，试证明：k＞f"（x₀）．
（3）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意的x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，求a的取值范围．

答案

（1）f′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

=

x2+(2-a)x+1

x(x+1)2

∵a=

9

2

，令f"（x）＞0得x＞2或0＜x＜

1

2

∴函数f（x）的单调增区间为(0，

1

2

)，(2，+∞)；

（2）证明：当a=0时f（x）=lnx
∴f′(x)=

1

x

∴f′(x0)=

1

x0

=

2

x1+x2

又k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

=

ln x2 x1

x2-x1

不妨设x₂＞x₁，要比较k与f"（x₀）的大小，
即比较

ln x2 x1

x2-x1

与

2

x1+x2

的大小，
又∵x₂＞x₁，
∴即比较ln

x2

x1

与

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

的大小．
令h(x)=lnx-

2(x-1)

x+1

(x≥1)，
则h′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

≥0
∴h（x）在[1，+∞）上位增函数．
又

x2

x1

＞1，
∴h(

x2

x1

)＞h(1)=0，
∴ln

x2

x1

＞

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

，
即k＞f"（x₀）；

（3）∵

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，
∴

g(x2)+x2-[g(x1)+x1]

x2-x1

＜0
由题意得F（x）=g（x）+x在区间（0，2]上是减函数．
1°当1≤x≤2，F(x)=lnx+

a

x+1

+x，
∴F′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

+1
由F′(x)≤0⇒a≥

(x+1)2

x

+(x+1)2=x2+3x+

1

x

+3在x∈[1，2]恒成立．
设m（x）=x2+3x+

1

x

+3，x∈[1，2]，则m′(x)=2x-

1

x2

+3＞0
∴m（x）在[1，2]上为增函数，
∴a≥m(2)=

27

2

2°当0＜x＜1，F(x)=-lnx+

a

x+1

+x，
∴F′(x)=-

1

x

-

a

(x+1)2

+1
由F′(x)≤0⇒a≥-

(x+1)2

x

+(x+1)2=x2+x-

1

x

-1在x∈（0，1）恒成立
设t（x）=x2+x-

1

x

-1，x∈（0，1）为增函数
∴a≥t（1）=0
综上：a的取值范围为a≥

27

2

．

解析