已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx（k

难度：一般题型：解答题来源：不详 2023-08-04 05:30:02

题目

已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）定理：函数g(x)=ax+

（a、b是正常数）在区间(0，

（1）由函数f（x）是偶函数，可知f（x）=f（-x）．
∴log₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx．…（2分）
即log₄

4x+1

4-x+1

=-2kx，log₄4^x=-2kx，…（4分）
∴x=-2kx对一切x∈R恒成立．∴k=-

．…（6分）
（利用f（-1）=f（1）解出k=-

，可得满分）
（2）由m=f（x）=log₄（4^x+1）-

x，
∴m=log₄

4x+1

=log₄（2^x+

）．…（8分）
设u=2^x+

，又设t=2^x，则u=t+

，由定理，知u_min=u（1）=2，…（10分）
∴m≥log₄2=

．故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围为m≥

．…（12分）
f(x)-

＞0⇔f(x)min＞

而f(x)min=

，
∴

＞

即m＜1，
综上所述，

≤m＜1…（14分）