设函数f（x）对任意实数x，y∈R，都有f（x+

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设函数f（x）对任意实数x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，
（1）判断f（x）的奇偶性； 
（2）判断f（x）的单调性；
（3）解不等式

1
2
f(bx2)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)，（b2≠2）．

答案

（1）令x=y=0，由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=0，
所以f（-x）=-f（x），
故f（x）为奇函数；
（2）任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x2-x1）=f[x2+（-x1）]=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1），
由x＞0时，f（x）＜0，且x2-x1＞0，
所以f（x2-x1）＜0，即f（x2）-f（x1）＜0，
所以f（x2）＜f（x1），
故f（x）为减函数；
（3）不等式

1
2
f(bx2)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)可变为
1
2
f（bx2）-
1
2
f（b2x）＞f（x）-f（b）=f（x-b），
⇒f（bx2-b2x）＞f（2x-2b），
由（2）知f（x）单调递减，
所以bx2-b2x＜2x-2b，即bx2-（b2+2）x+2b＜0，
当b=0时，原不等式解集（0，+∞）；
当b＜-

解析

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