题目

设函数f（x）=x•sin x且f（α）-f（β）＞0，α，β∈[-

π

2

，

π

2

]，则下列不等式必定成立的是（　　）

A．α＞β

B．α＜β

C．α+β＞0

D．α2＞β2

答案

由题意得，f′（x）=sin x+xcosx，当x∈[0，

π

2

]时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[0，

π

2

]上递增，
由f（α）-f（β）＞0得，f（α）＞f（β），
又∵f（-x）=-x•sin（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数，即f（|α|）＞f（|β|），
∵α、β∈[-

π

2

，

π

2

]，∴|α|、|β|∈[0，

π

2

]，
∴|α|＞|β|，故α²＞β²．
故选D．

解析