题目

已知函数f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0，且a≠1），设函数g(x)=f(x-

1

2

)+1
（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数；
（Ⅱ）①求证：g（x）+g（1-x）=2；②求g(0)+g(

1

100

)+g(

2

100

)+…+g(

99

100

)+g(1)的值．

答案

证明：（I）f（x）定义域为R，f(-x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，
所以f（x）为奇函数，----------（5分）
（Ⅱ）①g(x)+g(1-x)=f(x-

1

2

)+1+f(

1

2

-x)+1=f(x-

1

2

)+f(

1

2

-x)+2
因为f（x）为奇函数，所以 f(x-

1

2

)+f(

1

2

-x)=0，
所以g（x）+g（1-x）=2．--------------（10分）
②由①知g（x）+g（1-x）=2，
所以g(0)+…+g(1)=[g(0)+g(1)]+[g(

1

100

+g

99

100

)]+…+[g(

49

100

)+g(

51

100

)]+g(

1

2

)=2×50+1=101--------------------（15分）

解析